有理數和無理數的定義

　　有理數的定義：有理數是整數和分數的統稱，是整數和分數的集合。無理數的定義：無理數是無限不循環小數，是所有非有理數的實數。無理數是指實數范圍內不能表示成兩個整數之比的數，比如圓周率。

　　有理數和無理數的區別

　　有理數和無理數都寫成小數形式時，有理數能寫成有限小數。所有的有理數都可以寫成兩個整數之比，而無理數卻不能寫成兩個整數之比。常見的無理數有非完全平方數的平方根、pi;和e(其中后兩者均為超越數)等。無理數的另一特征是無限的連分數表達式。無理數最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯索斯發現。

　　有理數集是整數集的擴張。在有理數集，加法、減法、乘法、除法(除數不為零)4種運算通行無阻。無理數是指實數范圍不能表示成兩個整數之比的數。簡單的說，無理數就是10進制下的無限不循環小數。

　　有理數的名字由來

　　有理數這一名稱不免叫人費解，有理數并不比別的數更有道理。事實上，這似乎是一個翻譯上的失誤。有理數一詞是從西方傳來，在英語中是rational number，而rational通常的意義是理性的。中國在近代翻譯西方科學著作，依據日語中的翻譯方法，以訛傳訛，把它譯成了有理數。

　　但是，這個詞來源于古希臘，其英文詞根為ratio，就是比率的意思(這里的詞根是英語中的，希臘語意義與之相同)。所以這個詞的意義也很顯豁，就是整數的比。與之相對，無理數就是不能精確表示為兩個整數之比的數，而并非沒有道理。

　　無理數的由來

　　畢達哥拉斯(Pythagoras，約公元前580年至公元前500年間)是古希臘的大數學家。他證明許多重要的定理，包括后來以他的名字命名的畢達哥拉斯定理(勾股定理)，即直角三角形兩直角邊為邊長的正方形的面積之和等于以斜邊為邊長的正方形的面積。畢達哥拉斯將數學知識運用得純熟之后，覺得不能只滿足于用來算題解題，于是他試著從數學領域擴大到哲學，用數的觀點去解釋一下世界。

　　經過一番刻苦實踐，他提出萬物皆為數的觀點：數的元素就是萬物的元素，世界是由數組成的，世界上的一切沒有不可以用數來表示的，數本身就是世界的秩序。

　　公元前500年，畢達哥拉斯學派的弟子希伯索斯(Hippasus)發現了一個驚人的事實，一個正方形的對角線與其一邊的長度是不可公度的(若正方形的邊長為1，則對角線的長不是一個有理數)，這一不可公度性與畢氏學派的萬物皆為數(指有理數)的哲理大相徑庭。http://m.m.osxg.com.cn/xuexi/

　　這一發現使該學派領導人惶恐，認為這將動搖他們在學術界的統治地位，于是極力封鎖該真理的流傳，希伯索斯被迫流亡他鄉，不幸的是，在一條海船上還是遇到畢氏門徒。被畢氏門徒殘忍地投入了水中殺害。科學史就這樣拉開了序幕，卻是一場悲劇。

　　希伯索斯的發現，第一次向人們揭示了有理數系的缺陷，證明了它不能同連續的無限直線等同看待，有理數并沒有布滿數軸上的點，在數軸上存在著不能用有理數表示的孔隙。而這種孔隙經后人證明簡直多得不可勝數。

　　于是，古希臘人把有理數視為連續銜接的那種算術連續統的設想徹底地破滅了。不可公度量的發現連同芝諾悖論一同被稱為數學史上的第一次數學危機，對以后2000多年數學的發展產生了深遠的影響，促使人們從依靠直覺、經驗而轉向依靠證明，推動了公理幾何學和邏輯學的發展，并且孕育了微積分思想萌芽。

　　不可約的本質是什么?長期以來眾說紛紜，得不到正確的解釋，兩個不可通約的比值也一直認為是不可理喻的數。15世紀意大利著名畫家達.芬奇稱之為無理的數，17世紀德國天文學家開普勒稱之為不可名狀的數。

　　然而真理畢竟是淹沒不了的，畢氏學派抹殺真理才是無理。人們為了紀念希伯索斯這位為真理而獻身的可敬學者，就把不可通約的量取名無理數--這就是無理數的由來。

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