自然數的定義

 數學術語

　　而自然數只是不小于0的整數(也就是0和正整數)，所以自然數有無數個，通常用n表示。

　　【拼音】zì rán shù

　　【英譯】natural number; whole number

　　即指：全體非負整數組成的集合 常用 N 來表示

　　基本概念

　　自然數的個數是無限的.

　　基本特點

　　用以計量事物的件數或表示事物次序的數。即用數碼0，1，2，3，4，……所表示的數。自然數由0開始，一個接一個，組成一個無窮集合。自然數集有加法和乘法運算，兩個自然數相加或相乘的`結果仍為自然數，也可以作減法或除法，但相減和相除的結果未必都是自然數，所以減法和除法運算在自然數集中并不是總能成立的。自然數是人們認識的所有數中最基本的一類。為了使數的系統有嚴密的邏輯基礎，19世紀的數學家建立了自然數的兩種等價的理論——自然數的序數理論和基數理論，使自然數的概念、運算和有關性質得到嚴格的論述。

　　基本定義

　　序數理論是意大利數學家G.皮亞諾提出來的。他總結了自然數的性質，用公理法給出自然數的如下定義：

　　自然數集N是指滿足以下條件的集合：①N中有一個元素，記作1。②N中每一個元素都能在N中找到一個元素作為它的后繼者。③1不是任何元素的后繼者。④不同元素有不同的后繼者。⑤(歸納公理)N的任一子集M，如果1∈M，并且只要x在M中就能推出x的后繼者也在M中，那么M=N。

　　自然數，即0、1、2、3、4……。

　　從歷史上看，國內外數學界對于0是不是自然數歷來有兩種觀點：一種認為0是自然數，另一種認為0不是自然數。建國以來，我國的中小學教材一直規定自然數不包括0。國外的數學界大部分都規定0是自然數。為了方便于國際交流，1993年頒布的《中華人民共和國國家標準》(GB 3100-3102-93)《量和單位》(11-2.9)第311頁，規定自然數包括0。所以在近幾年進行的中小學數學教材修訂中，教材研究編寫人員根據上述國家標準進行了修改。即一個物體也沒有，用0表示。0也是自然數。“0”是否包括在自然數之內存在爭議，有人認為自然數為正整數，即從1開始算起;而也有人認為自然數為非負整數，即從0開始算起。關于這個問題尚無一致意見。不過，在數論中，多采用前者;在集合論中，則多采用后者。中小學教材中規定0為自然數。

　　公式

　　數列0，1,2,3,4,5，6,7,8,9,10,11,12,……n，稱為自然數列。

　　自然數列的通項公式an=n。

　　自然數列的前n項和Sn=n(n+1)/2。 Sn=na1+n(n-1)/2

　　自然數列本質上是一個等差數列，首項a1=1，公差d=1。

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